แนวคิดเรื่องเซตเป็นพื้นฐานสำคัญของคณิตศาสตร์หลายแขนง เช่น ทฤษฎีจำนวน ทฤษฎีเซต และตรรกศาสตร์ นอกจากนี้ เซตยังถูกนำไปประยุกต์ใช้ในวิทยาการคอมพิวเตอร์ วิทยาศาสตร์ และวิศวกรรมศาสตร์ บทความนี้จะพาไปรู้จักพื้นฐานของคณิตศาสตร์อย่างเรื่องของ เซต (set) ว่าเซต คืออะไร?
เซต คืออะไร?
เซต (Set) ในทางคณิตศาสตร์คือ กลุ่มของวัตถุหรือสิ่งของที่มีลักษณะเฉพาะ ซึ่งเราสามารถระบุได้ว่าสิ่งใดอยู่หรือไม่อยู่ในกลุ่มนั้น วัตถุแต่ละอย่างในเซตเรียกว่า สมาชิกของเซต (Elements of the Set) โดยใช้สัญลักษณ์ ∈ แทนคำว่า “เป็นสมาชิกของ” และ ∉ แทนคำว่า “ไม่เป็นสมาชิกของ”
เซตเปรียบเสมือนกล่องที่บรรจุสิ่งของต่างๆ เข้าไว้ด้วยกัน โดยสิ่งของเหล่านี้เรียกว่า สมาชิก หรือ องค์ประกอบ ของเซต เซตสามารถมีสมาชิกได้หลากหลายชนิด ไม่ว่าจะเป็นตัวเลข คน สัตว์ หรือแม้แต่แนวคิดที่จับต้องไม่ได้ก็ตาม ตัวอย่างเช่น เซตของผลไม้ อาจมีสมาชิกเป็น ส้ม กล้วย แอปเปิล เป็นต้น
เซตมักเขียนแทนด้วยวงเล็บปีกกา { } โดยใส่สมาชิกทั้งหมดไว้ภายใน ตัวอย่างเช่น
- เซตของตัวเลข 1, 2, 3 เขียนเป็น A={1,2,3}
- เซตของสระในภาษาไทยคือ B={อ,า,อิ,อี,อึ,อื,อุ,อู}
ถ้าหากสมาชิกของเซตมีจำนวนมาก หรือกำหนดด้วยกฎ เราสามารถใช้รูปแบบ เซตเชิงบรรยาย (Set-builder notation) เช่น
- เซตของจำนวนเต็มบวกที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ 10: C={x∣x≤10,x∈Z+}
วิธีการแสดงเซต
มี 2 วิธีหลักในการแสดงเซต ได้แก่
- การแสดงรายการ: เขียนสมาชิกทั้งหมดของเซตภายในวงเล็บปีกกา { } โดยใช้เครื่องหมายจุลภาคคั่นระหว่างสมาชิกแต่ละตัว ตัวอย่างเช่น เซตของจำนวนเต็มบวกที่น้อยกว่า 5 คือ {1, 2, 3, 4}
- การแสดงลักษณะเฉพาะ: อธิบายคุณสมบัติที่สมาชิกของเซตต้องมี โดยใช้สัญลักษณ์ | (อ่านว่า “ซึ่ง”) ตัวอย่างเช่น เซตของจำนวนคู่ทั้งหมดสามารถเขียนได้เป็น {x | x เป็นจำนวนคู่}
การดำเนินการกับเซต
การรวมเซต (Union) คือการรวมสมาชิกของสองเซตเข้าด้วยกัน โดยไม่นับสมาชิกซ้ำ
ผลลัพธ์คือเซตที่ประกอบด้วยสมาชิกทั้งหมดของเซต AAA และ BBB เขียนแทนด้วย A∪BA \cup BA∪B
การตัดกันของเซต (Intersection) คือการหาสมาชิกที่อยู่ร่วมกันในทั้งสองเซต
ผลลัพธ์คือเซตที่ประกอบด้วยสมาชิกที่อยู่ทั้งในเซต AAA และ BBB เขียนแทนด้วย A∩BA \cap BA∩B
ผลต่างของเซต (Difference) คือการหาสมาชิกที่อยู่ในเซตหนึ่ง แต่ไม่อยู่ในอีกเซตหนึ่ง
เซต A−BA – BA−B คือเซตของสมาชิกที่อยู่ใน AAA แต่ไม่อยู่ใน BBB
ผลต่างสมบูรณ์ (Symmetric Difference) คือการหาสมาชิกทั้งหมดที่ไม่อยู่ในเซตที่กำหนด
เซต AΔBA \Delta BAΔB คือเซตของสมาชิกที่อยู่ใน AAA หรือ BBB แต่ไม่อยู่ในทั้งสองเซต
ประเภทของเซต
เซตจำกัด (Finite Set) เป็นเซตที่มีจำนวนสมาชิกจำกัด เช่น {2,4,6,8}
เซตอนันต์ (Infinite Set) เป็นเซตที่มีจำนวนสมาชิกไม่จำกัด เช่น เซตของจำนวนเต็ม Z = {…,−2,−1,0,1,2,… }
เซตว่าง (Empty Set) เป็นเซตที่ไม่มีสมาชิกใด ๆ อยู่เลย เขียนแทนด้วย ∅ หรือ {}
เซตเอกภพ (Universal Set) เป็นเซตที่รวมสมาชิกทั้งหมดในบริบทที่กำลังพิจารณา โดยมักเขียนแทนด้วย U
