ห.ร.ม. คืออะไร? วิธีหาตัวหารร่วมมาก แบบเข้าใจง่าย

ห.ร.ม. ย่อมาจาก “ตัวหารร่วมมาก” คือจำนวนเต็มบวกที่มากที่สุดซึ่งหารจำนวนตั้งแต่ 2 จำนวนขึ้นไปได้ลงตัวทุกจำนวน พูดง่าย ๆ คือ มองหาตัวเลขที่แบ่งทุกจำนวนได้พอดี แล้วเลือกตัวที่ใหญ่ที่สุด

ตัวอย่าง ห.ร.ม. ของ 12 และ 18 คือ 6 เพราะ 6 หารทั้ง 12 และ 18 ลงตัว และไม่มีตัวหารร่วมใดที่ใหญ่กว่า 6

ก่อนหา ห.ร.ม. ต้องรู้จักตัวหาร

ตัวหารหรือตัวประกอบ คือจำนวนที่นำไปหารอีกจำนวนหนึ่งแล้วเหลือเศษ 0

• ตัวหารของ 12 คือ 1, 2, 3, 4, 6, 12
• ตัวหารของ 18 คือ 1, 2, 3, 6, 9, 18

ตัวที่พบในทั้งสองแถวเรียกว่า ตัวหารร่วม ได้แก่ 1, 2, 3 และ 6 ตัวที่มากที่สุดคือ 6 ดังนั้น ห.ร.ม. ของ 12 และ 18 เท่ากับ 6

จำคำว่า ห.ร.ม. แบบง่าย ๆ ว่า หาร–ร่วม–มาก

• หาร: นำไปหารทุกจำนวนได้ลงตัว
• ร่วม: ต้องเป็นตัวหารของทุกจำนวน
• มาก: เลือกค่าที่มากที่สุด

วิธีหา ห.ร.ม. มีกี่วิธี?

วิธีหา ห.ร.ม. ที่ใช้ในระดับพื้นฐานมี 3 วิธี ได้แก่ เขียนตัวหารทั้งหมด แยกตัวประกอบเฉพาะ และหารสั้น เลขน้อยเหมาะกับการเขียนตัวหารให้เห็นครบทุกตัว ส่วนเลขมากหรือมีหลายจำนวน ใช้วิธีแยกตัวประกอบหรือหารสั้นจะกระชับกว่า

วิธีที่ 1 เขียนตัวหารทั้งหมด

วิธีนี้เหมาะกับจำนวนไม่มาก เพราะเห็นคำตอบได้ชัดเจน

ตัวอย่าง หา ห.ร.ม. ของ 16 และ 24

1. ตัวหารของ 16 คือ 1, 2, 4, 8, 16
2. ตัวหารของ 24 คือ 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
3. ตัวหารร่วมคือ 1, 2, 4 และ 8
4. ตัวที่มากที่สุดคือ 8

ดังนั้น ห.ร.ม. ของ 16 และ 24 คือ 8

วิธีที่ 2 แยกตัวประกอบเฉพาะ

ตัวอย่าง หา ห.ร.ม. ของ 36 และ 48

1. 36 = 2 × 2 × 3 × 3
2. 48 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3
3. เลือกเฉพาะตัวประกอบเฉพาะที่มีร่วมกัน โดยเลือกจำนวนครั้งที่ซ้ำน้อยที่สุด
   • มีเลข 2 ร่วมกัน 2 ตัว
   • มีเลข 3 ร่วมกัน 1 ตัว
4. นำมาคูณกัน: 2 × 2 × 3 = 12

ดังนั้น ห.ร.ม. ของ 36 และ 48 คือ 12

สังเกตว่าเวลา หา ห.ร.ม. เราเลือกเฉพาะสิ่งที่มีร่วมกัน ต่างจาก ค.ร.น. ที่ต้องเก็บตัวประกอบให้ครบทุกจำนวน

วิธีที่ 3 หารสั้น

ตัวอย่าง หา ห.ร.ม. ของ 24, 36 และ 60

เลือกจำนวนเฉพาะที่หาร ทุกจำนวนในแถวนั้น ลงตัว แล้วหารต่อไปจนไม่มีจำนวนใดนอกจาก 1 ที่หารพร้อมกันได้อีก

2 ) 24   36   60
2 ) 12   18   30
3 )  6    9   15
     2    3    5

นำตัวหารด้านซ้ายมาคูณกัน

2 × 2 × 3 = 12

ดังนั้น ห.ร.ม. ของ 24, 36 และ 60 คือ 12

จุดสำคัญคือการหา ห.ร.ม. แบบหารสั้น ตัวหารแต่ละรอบต้องหารทุกจำนวนลงตัว ถ้าหารได้เพียงบางจำนวน ห้ามนำตัวนั้นไปใช้

ห.ร.ม. ใช้ตอนไหน?

มักใช้เมื่อโจทย์ต้องการแบ่งของหลายชนิดเป็นชุดเท่า ๆ กัน โดยต้องการจำนวนชุดมากที่สุดหรือขนาดกลุ่มใหญ่ที่สุด และไม่ให้มีของเหลือ

ตัวอย่าง มีดินสอ 24 แท่ง และยางลบ 36 ก้อน ต้องการจัดถุงของขวัญให้เหมือนกันทุกถุง ใช้ของหมดพอดี และจัดได้มากที่สุด จะจัดได้กี่ถุง?

หา ห.ร.ม. ของ 24 และ 36 ได้ 12 จึงจัดได้ 12 ถุง แต่ละถุงมีดินสอ 24 ÷ 12 = 2 แท่ง และยางลบ 36 ÷ 12 = 3 ก้อน

ห.ร.ม. ยังใช้ย่อเศษส่วน เช่น 18/24 หารทั้งเศษและส่วนด้วย ห.ร.ม. ซึ่งเท่ากับ 6 จะได้ 3/4

ห.ร.ม. ต่างจาก ค.ร.น. อย่างไร?

เรื่อง	ห.ร.ม.	ค.ร.น.
ชื่อเต็ม	ตัวหารร่วมมาก	ตัวคูณร่วมน้อย
มองหา	ตัวหารหรือตัวประกอบร่วม	พหุคูณร่วม
เลือกค่า	ค่าบวกที่มากที่สุด	ค่าบวกที่น้อยที่สุด
มักใช้กับ	แบ่งของให้เท่ากัน, ย่อเศษส่วน	หารอบที่ตรงกัน, ทำส่วนให้เท่ากัน

อ่านอีกเรื่องได้ที่ ค.ร.น. คืออะไร?

จุดที่มักสับสน

• ห.ร.ม. ไม่จำเป็นต้องเป็นหนึ่งในจำนวนที่โจทย์ให้ แต่ต้องหารทุกจำนวนนั้นลงตัว
• อย่าสับสน “ตัวหาร” กับ “ผลหาร” เช่น 12 ÷ 3 = 4 เลข 3 คือตัวหาร ส่วน 4 คือผลหาร
• ตัวหารร่วมที่พบตัวแรกอาจไม่ใช่คำตอบ ต้องเลือกตัวที่มากที่สุด
• สำหรับจำนวนเต็มบวก ห.ร.ม. จะไม่มากกว่าจำนวนที่เล็กที่สุดในโจทย์

ลองทำโจทย์

1. ห.ร.ม. ของ 10 และ 15 คือเท่าไร?
2. ห.ร.ม. ของ 18 และ 30 คือเท่าไร?
3. มีลูกอมรสส้ม 20 เม็ด และรสองุ่น 30 เม็ด ต้องการแบ่งเป็นถุงที่เหมือนกันและได้จำนวนถุงมากที่สุด จะได้กี่ถุง? แต่ละถุงมีลูกอมแต่ละรสกี่เม็ด?

เฉลย: 1) 5 2) 6 3) 10 ถุง ถุงละรสส้ม 2 เม็ดและรสองุ่น 3 เม็ด

หากอยากทบทวนว่าตัวหารของจำนวนหนึ่งมีอะไรบ้าง อ่านต่อที่ ตัวประกอบคืออะไร

คำถามที่พบบ่อยเกี่ยวกับ ห.ร.ม.

ห.ร.ม. ของ 2 จำนวนหาอย่างไรเร็วที่สุด?

ถ้าเลขน้อย ให้เขียนตัวหารของทั้งสองจำนวน แล้วเลือกตัวที่พบร่วมกันและมีค่ามากที่สุด ถ้าเลขมาก วิธีหารสั้นหรือแยกตัวประกอบเฉพาะมักเร็วกว่า

ถ้าจำนวนหนึ่งหารอีกจำนวนลงตัว ห.ร.ม. คืออะไร?

ห.ร.ม. คือจำนวนที่เล็กกว่า เช่น ห.ร.ม. ของ 6 และ 24 คือ 6 เพราะ 6 หารทั้งสองจำนวนลงตัวอยู่แล้ว

ห.ร.ม. เท่ากับ 1 หมายความว่าอย่างไร?

หมายความว่าจำนวนเหล่านั้นไม่มีตัวหารร่วมอื่นนอกจาก 1 เราเรียกจำนวนคู่นั้นว่า จำนวนเฉพาะสัมพัทธ์ หรือ Coprime เช่น 8 กับ 15 มี ห.ร.ม. เท่ากับ 1